(495) 234-36-61
На главную страницу блога Почта

Блог «Умные мелочи»

Абак и счеты

Рубрика: (Как рождались технологии) | Автор: moderator | Дата: 05-08-2014

Метки: , , , , , ,

Невозможно представить цивилизацию без культуры. В свою очередь невозможно представить себе культуру без языка и письменности. Опускаясь чуть ниже, скажем – письменность не может существовать без каких-нибудь, пусть самых элементарных, инструментов для письма. Хотя бы без глиняных табличек, восковых таблет, папируса и тростниковых палочек с чернилами. На чем бы великий Архимед написал свои трактаты, не будь у него пишущих инструментов? Кстати, а написал бы он вообще что-нибудь, не будь у него каких-нибудь инструментов для… счета? Сложнейшие же (для Древней Греции) вычисления, в уме не удержишь.

На заре цивилизации для счета использовали подручные средства – зарубки на дереве или камне, палочки и мелкие камешки, узелки на кусках веревки. Но в этих инструментах не было главного – они практически не облегчали подсчеты. Простым перекладыванием палочек или камешков можно выполнить лишь два действия – умножение и деление приходилось осуществлять многократным сложением и вычитанием. Если числа были достаточно большими, возникала другая проблема – запоминания промежуточного результата. Древнему земледельцу, к примеру, надо было подсчитать количество мешков с семенами для засева большого поля. Где-то в середине вычислений он вдруг обнаруживал, что допустил ошибку. Вернуться бы на одно-два действия назад, но как это сделать? А если ошибка допущена при заключении торговой сделки и речь идет о деньгах, от которых зависит выживание целого селения?

Для подобных вычислений был изобретен абак – счетная доска (в переводе с греческого абак и есть доска). Абак использовался многими народами. Греки и египтяне использовали абак с нарисованными линиями или выдолбленными желобками. Вдоль линий или в желобки укладывались камешки. Каждый камешек означал единицу вычислений, а сама линия – разряд этой единицы.

В Древнем Китае и Японии использовались аналоги абака – суан-пан и соробан соответственно. Вместо камешков использовались цветные шарики, а вместо желобков – прутики, на которые шарики нанизывались.

Вычисления при помощи греческого и египетского абаков, равно как и при помощи суан-пана и соробана, производились следующим образом. В каждом желобке (на каждой линии или на каждом прутике) располагались пять камешков (или шариков). Камешек в первом желобке означал единицу. Камешек во втором желобке – пять единиц. Камешек в третьем желобке – двадцать пять единиц. Камешек в четвертом желобке – сто двадцать пять единиц.

Число 130 на абаке выглядело как один камешек в первом желобке и один камешек в четвертом желобке. При счете камешки перекладывались из одной стороны в другую. То есть камешки, располагавшиеся справа, означали незадействованные в вычислениях единицы, переложенные к левой стороне – задействованные единицы.

Таким образом, в абаке и его ранних аналогах использовалась пятеричная система исчисления. О дробных значениях чисел речи не шло, поскольку древние дробей не знали. Основным же достоинством абака была наглядность вычислений и так называемая позиционная система представления чисел. Результат расчетов не требовал какой-либо расшифровки – достаточно было взглянуть на расположение камешков на абаке, чтобы моментально определить, какое число получилось. Значительно облегчился и визуальный контроль над правильностью вычислений, поскольку расчеты были наглядными и достаточно простыми.

Недостатком древнего абака была именно пятеричная система счисления, которая не соответствовала изобретенной позже десятеричной системе и не позволяла оперировать дробями. Тем не менее, абак широко применялся вплоть до 18 века, а в странах Востока и позже.

Десятеричный абак или всем известные русские счеты, в которых используется десятеричная система счисления и возможность оперировать десятыми и сотыми дробными долями, появились на рубеже 16 и 17 веков (точное время не установлено). От классического абака счеты отличаются увеличением разрядности каждого числового ряда и конструкцией. Счеты представляют собой раму, внутри которой располагаются тонкие стержни. На стержни насажены круглые костяшки – по десять штук на каждом стержне. Два нижних ряда означают сотые и десятые доли. Затем идет промежуточный ряд (обычно он выделен четырьмя костяшками, которые в вычислениях не участвуют). Затем идет первый ряд костяшек, каждая из которых означает единицу, второй ряд, в котором каждая костяшка соответствует десятку, затем, соответственно, идут сотни, тысячи, десятки тысяч и так далее. Позже появились расширенные модификации счетов — дробная часть могла достигать четырех рядов, а часть целых чисел семи рядов. Подобные счеты назывались бухгалтерскими, они позволяли вести вычисления со стотысячными долями целых чисел и с целыми числами, вплоть 9 999 999, 9999.

Для наглядности вычислений костяшки русских счетов имели двухцветную окраску. Пятая и шестая костяшки на каждой оси, окрашивались в более темный (черный) цвет, остальные – в светлый (коричневый или желтый). Двухцветная окраска костяшек позволяла очень быстро определить, какое число набрано на счетах, поскольку четыре светлые костяшки и две темных на левой стороне быстрей определяются, как цифра 6, чем шесть одноцветных костяшек.

Следует заметить, что с момента возникновения русского абака, счеты со временем мало изменились. Стержни, на которых располагались костяшки, приобрели выпуклый профиль – чтобы костяшки самопроизвольно не перемещались из одной стороны в другую. Сами стержни стали делать из толстой металлической проволоки, а костяшки и раму счетов изготавливали из древесины дуба.

Счеты благополучно дожили до нашего времени и сошли со сцены только в последние десятилетия, уступив место электронным калькуляторам. Однако русский абак был и остается самым эффективным инструментом для обучения счету. Человек, умеющий быстро считать на счетах, быстрей считает и в уме.

Несмотря на то, что счеты упрощают однообразные громоздкие вычисления, они не позволяют упростить операции умножения и деления. Умножать и делить при помощи абака – это все равно многократно складывать и вычитать. Не проще ли в таком случае взять бумагу и произвести умножение «столбиком»? И тут самое время вспомнить еще о двух замечательных инструментах, не имеющих отношения к древности, но напрямую повлиявших на организацию работы с большими числами.

Первый инструмент – механический арифмометр. Он был изобретен в 1820 году французом Шарлем Ксавье Тома де Кольмаром. В отличие от счетов арифмометр значительно облегчал и ускорял операции деления и умножения. Принцип действия арифмометра основан на механическом взаимодействии флажков-переключателей, расположенных на соседних валах. Набрав при помощи переключателей необходимое число, пользователь вращал рукоятку арифмометра по часовой стрелке, если число надо было умножить, или против часовой – если число надо было разделить. Количество оборотов рукоятки соответствовало значению множителя (то есть каждый оборот соответствовал операции однократного вычитания или сложения). Допустим, нам надо число 2 умножить на 3. Набираем на оси умножаемого числа в поле целый чисел значение 2, передвигая флажок на соответствующую этому числу риску, и прокручиваем рукоятку по часовой стрелке три раза (либо наоборот – выставляем флажок на число 3 и вращаем рукоятку два раза). За три оборота флажок трижды зацепится за флажок вала вывода результата. И мы увидим, что вал вывода результата провернулся трижды, показав число 6.

Конструкция арифмометра многократно совершенствовалась. Появлялись модели с кнопочным набором чисел, со специальными окнами для вывода результатов вычислений, выпускались даже арифмометры с электрическим мотором. Но принцип действия оставался прежним – арифмометр работал как механический счетчик оборотов приводной рукоятки.

Арифмометр верой и правдой прослужил людям около ста пятидесяти лет, а в последние девяносто лет своего существования был основным средством автоматизации расчетов. Но все же для инженерных и научных вычислений, особенно по сложным формулам, он не годился. Для этих целей использовался другой замечательный инструмент – счетная или логарифмическая линейка.

В основу принципа действия счетной линейки положены логарифмические шкалы, позволяющие упростить математические операции умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень и так далее. Логарифмическая линейка состоит из основания, движущейся внутри него второй линейки и стеклянного бегунка с риской. Результат вычислений определяется совмещением двух подвижных шкал и риски бегунка. Сегодня, в эпоху электронных калькуляторов, трудно не только купить саму логарифмическую линейку, но и найти человека, умеющего при помощи ее считать. Основной недостаток счетной линейки – невысокая точность расчетов. А основное достоинство – простота и наглядность вычислений. Кроме того, это еще и просто линейка, которая может пригодиться для чертежной и любой канцелярской работы.

Счеты, арифмометр, логарифмическая линейка – все осталось в прошлом. Интересно, а что станет в будущем с персональным компьютером? Не покажется ли он нашим потомкам таким же примитивом, каким выглядит сегодня древний пятиразрядный абак?

Самые первые в мире

Рубрика: (Как рождались технологии) | Автор: moderator | Дата: 05-04-2013

Метки: , , ,

Первая книга о вычислительном устройстве

Задолго до изобретения компьютеров, ещё в 1202 году, в Италии была опубликована «Книга абака» Леонардо Пизанского, выдающегося математика Средневековья, известного нам как Фибоначчи. Эта книга была написана 32-летним учёным, посвятившим молодость изучению знаний арабских математиков, для чего Фибоначчи объездил половину мира – Алжир, Египет, Сирию, Византию, юг Италии.

Абак – самый древний на планете вычислительный инструмент. Это всем известные счёты – ряды деревянных косточек, нанизанных на металлические стержни. Правда, сама «Книга абака» посвящена всё-таки  не счётам (что о них писать-то, штука предельно простая и в своей простоте гениальная). Это фундаментальный сборник средневековых сведений в области арифметических десятичных вычислений. Абаком Фибоначчи назвал арифметику – как науку.

 

Первое механическое вычислительное устройство

 

В 1642 году молодой француз по имени Блез Паскаль, человек одарённый и предприимчивый, решил помочь своему отцу – интенданту Нормандии, который по служебным обязанностям был отдавать много времени утомительным подсчётам продовольствия, обмундирования и прочего казённого имущества. Собственно, задача выглядела следующим образом — заменить древний абак неким механизмом, который бы помог суммировать простые числа.

Вскоре был создан первый вариант суммирующей машины, которую Паскаль назвал «паскалиной». Впервые в истории учёный, которому в будущем предстояло стать одним из столпов мировой науки,  применил систему связанных между собой зубчатых колёс. Полный оборот первого колеса (сейчас бы мы назвали его устройством ввода), соответствующий простому слагаемому числу — единице, через шестерни приводил к перемещению результирующего колеса (устройство вывода информации) на один зуб. Два оборота – результирующее колесо проворачивается на два зуба. Подсчитав количество зубьев можно легко получить результат суммирования. При этом ввод чисел оказался очень простым – всего лишь полный оборот рукоятки.

Принцип шестерёнчатого вычислительно механизма использовался более 350 лет во всех арифмометрах — механических вычислительных машинах.

В течение последующих 10 лет Паскаль построил около полусотни вариантов своей «паскалины». И, как это иногда бывает, не получил за свои труды никакого вознаграждения. С одной стороны, объёмные вычисления приходилось делать не так уж часто, чтобы думать о массовом выпуске «паскалин». С другой – патентного права в XVII веке не существовало. Никому бы и в голову не пришло платить изобретателю за использование его открытия.

Первый программируемый автомат

На самом деле это история одной из наиболее впечатляющих мистификаций. Речь о шахматном «автомате» Вольфганга фон Кемпелена. Ни о каком программировании говорить, конечно же, не приходится. Шахматный «автомат» Кемпелена знаменит другим. Во-первых, это один из самых сложных в техническом плане фокусов, оставивших у современников (а дело было во второй половине XVIII столетия) неизгладимое и даже шокирующее впечатление. Во-вторых, Кемпелен изобрёл первый в истории механический манипулятор – дистанционно управляемую искусственную руку. И, наконец, он применил в своём «автомате» удивительно остроумную систему сигнализации о расположении на доске пешек.

Шахматный «автомат» Кемпелена – это небольшой (примерно 120х60х90 сантиметров) деревянный ящик, перед которым была установлен сидящий манекен, одетый в турецкий наряд. Перед сеансом игры конструктор демонстративно заводил ключом механизм. Как только соперник совершал ход, восковая фигура рукой (!) передвигала пешку. После двадцати ходов «завод» заканчивался. Кемпелен снова заводил устройство ключом, и игра продолжалась на протяжении последующих 20 ходов.

Следует признать – «автомат» играл очень сильно. Он проиграл только Филидору. Среди любителей шахмат «автомат» считался непобедимым.

Как работало устройство? Внутри восковой фигуры (её размеры, к слову, были невелики) в ужасной тесноте размещался человек. Видеть доску из своего узилища он не мог. Поэтому Кемпелен создал специальную систему – в фигурки были встроены магниты, которые при перемещении по доске притягивали висящие под каждым полем на нитях металлические шарики. Фигура на своем поле – шарик притянут к доске. Поле свободно – шарик висит на нити. Игрок, спрятанный в фигуре, видел шарики через систему зеркал.

Рука и голова восковой фигуры приводились в движение тросиками. При этом тайный игрок мог захватить механической рукой шахматную фигуру и переместить её на другое поле. Троекратным кивком головы «автомат» объявлял шах.

Зачем нужен был «завод»? Что заводил ключом Кемпелен через каждые 20 ходов? Ничего. Это была уловка, благодаря которой спрятанный в фигуре игрок мог перевести дух и проанализировать сложившуюся ситуацию.

Что примечательно, имя Кемпелена, как изобретателя шахматного «автомата», в истории осталось, а его талантливого компаньона – нет. Кто сидел в «автомате» — неизвестно.

Несмотря на то, что речь идёт исключительно о мистификации, с 1769 года, с момента первой демонстрации изобретения Кемпелена, до 1803 года, когда 71-летний фокусник отошёл в мир иной, его «автомат» причислялся к «современным чудесам света». А принцип работы кемпеленовской шутихи был раскрыт много десятилетий спустя — по рассказам свидетелей игры «автомата». Дело в том, что шахматный «автомат» так никогда и не был исследован. 5 июля 1854 года изобретение Кемпелена сгорело во время пожара. Это случилось в Соединённых Штатах, в Филадельфии.

В 1788 году Кемпелен создал ещё одно чудо света – уже без кавычек. Он показал публике машину, которая посредством сложного механизма на основе пневматики воспроизводила голос трёхлетнего ребёнка. И это был первый в мире синтезатор человеческой речи.

 

Самый большой и самый… маломощный компьютер в мире

 

ХХ век – век парадоксов. Только задумайтесь – человек уже побывал на Луне, поднял в небо сверхзвуковые самолёты, построил атомные реакторы, мощные ускорители элементарных частиц. А  наручных электронных часов с ЖК индикатором ещё не существовало. Когда же они появились (в начале 70-х годов, после выпуска компанией Intel микропроцессора 4004, который стал использоваться в калькуляторах и часах), то оказалось, что по вычислительной мощности они сравнимы… с компьютерами, применявшимися в космической лунной программе.

Миниатюризация компьютеров началась сразу после постройки первой электронной вычислительной машины ЭНИАК. Этот компьютер был спроектирован в 1943 году физиками из Университета Пенсильвании Джоном Преспером Экертом и Джоном Уильямом Мочли. Проект был запущен по заказу Вооружённых сил США – ЭНИАК предполагалось применять при расчёте баллистических артиллерийских таблиц. 14 февраля 1946 года первый в мире электронный компьютер вступил в строй.

Размеры компьютера ЭНИАК (Electronic Number Integrator And Computer — Электронный числовой интегратор и компьютер) можно назвать грандиозными. Вес — 27 тонн. Компьютер занимал большое помещение, в котором на коммутационных стойках и панелях располагались 17468 ламп, 7200 кремниевых диодов, 1500 механических реле, 70000 резисторов и 10000 электролитических конденсаторов. При работе машина потребляла 150 кВт электроэнергии. Отказоустойчивость ЭНИАК исчислялась десятками минут, после чего приходилось отыскивать перегоревшую лампу и заменять её.

Кстати, стоимость проекта значительно превысила смету, поэтому Экерту и Мочли пришлось экономить. Они, в частности, нашли выход в том, что заказали в «Дженерал Электрик» огромную партию… бракованных электронных ламп. Эти лампы проверялись во время монтажа машины на простых тестовых панелях. И, если лампа оказывалась годной, она шла в дело.

Ещё немного забавных фактов. Вычислительная мощность ЭНИАК – 300 операций умножения или 5000 операций сложения в секунду. В сто раз мощней, чем… механический арифмометр. И ничтожно мало даже для грошового электронного калькулятора.

В ЭНИАК использовалась десятичная система счисления, чем, собственно, и объясняются грандиозные размеры машины. Первый английский электронный компьютер ЭДСАК, построенный в 1949 году и второй американский ЭДВАК 1950 года были уже компактней – в них использовалась двоичная система счисления. ЭДВАК, к примеру, весил «всего» 7850 килограммов и умещался в относительно небольшой (45 квадратных метров) комнате.

В 1948 году ЭНИАК был перепрограммирован для решения других задач (компьютерные артиллерийские расчёты оказались слишком дорогим удовольствием). И для этого специалистам пришлось… заново построить тот же самый компьютер – то есть полностью перекоммутировать всю электронную начинку этого тихоходного монстра.

Волшебная линейка

Рубрика: (Как рождались технологии) | Автор: moderator | Дата: 23-11-2011

Метки: , ,

Вы помните этот вычислительный прибор? Логарифмическую линейку, которую так любили преподаватели математики и ненавидели школяры? Она ушла в прошлое с распространением электронных калькуляторов. И совершенно напрасно, ибо логарифмической линейке для вычислений не требуется электричество. И вообще, это самый настоящий аналоговый калькулятор. Математический заменитель древнего абака.

О правилах обращения с логарифмической линейкой нет смысла рассказывать. Во-первых, ее еще надо найти в продаже. Возможно, они где-то и выпускаются, но купить такую редкость в наше время можно лишь в магазине антиквариата. Во-вторых, на ней нужно уметь считать. Из моей головы эти познания со временем выветрились (это я деликатно намекаю на то, что их, по большому счету, и не было).

Поэтому поговорим об истории создания этого поистине волшебного инструмента и о принципах, на которых базируется логарифмическая линейка.

Идея линейки со шкалой, которая бы облегчала математические действия с числами, пришла в голову валлийскому математику Эдмунту Гантеру. Это произошло в 20-е годы XVII века. Гантер предложил даже не саму линейку, а логарифмическую шкалу. Вычисления производились при помощи двух циркулей, ножки которых прикладывались к шкале. Такое устройство позволяло производить лишь операцию умножения. Расстояние между двумя ножками первого циркуля, измеренное по шкале, соответствовало первому множителю, второго циркуля – второму множителю. Расстояние между точкой соприкосновения первой ножки первого циркуля и второй ножки второго циркуля, проградуированное в относительных единицах, соответствовало результату умножения.

Шкала Гантера не получила распространения из-за сложности и неточности самого процесса вычисления. Принципиального упрощения вычислений Эдмунт Гантер не достиг. Но работа ученого из Уэльса попалась на глаза энтузиасту математики, священнику из Олбери (городок близ Лондона) Уильяму Отреду. Он предложил вместо пары циркулей использовать две одинаковые логарифмические шкалы, скользящие одна относительно другой.

Линейка Отреда позволяла производить математические вычисления без применения циркулей. Правда, получившийся у него портативный прибор еще не обладал универсальной функциональностью. Современный вид логарифмическая линейка приобрела спустя два года после кончины ученого – в 1662 году, когда Сет Партридж дополнил линейку Отреда бегунком и визиром. С того времени и до наших дней логарифмическая линейка практически не менялась, прослужив верой и правдой более трех столетий.

Вернемся к личности «главного» изобретателя логарифмической линейки. Уильям Отред появился на свет 5 марта 1575 года в Итоне, в графстве Бэкингемшир, в семье англиканского священника. Мальчик с детства отличался яркими аналитическими способностями. Достаточно сказать, что в 1595 году он окончил математический факультет Кембриджского университета. И это в возрасте 20 лет, когда его сверстники только поступали в Кембридж!

В течение 13 лет (до 1608 года) Отред преподавал в Кембридже математику. Это был блестящий преподаватель. Ученый был настолько увлечен наукой, что не обращал внимания на простые радости жизни. Будучи человеком глубоко верующим (все же он родился в семье священника), в 1608 году Уильям Отред оставил профессию преподавателя, надел рясу и получил приход в Олбери. Здесь он и провел свою жизнь.

Уильям Отред

Уильям Отред

Судьба отмерила ему долгий век – Отред прожил 85 лет. Религиозность уживалась в нем с тягой к познаниям. Уильям Отред – один из великих математиков в истории человечества, который занимался наукой непрофессионально. Он был ученым-любителем. И при этом всегда находился в окружении множества учеников. Среди наиболее известных из них – Кристофер Рен и Джон Валлис.

Следует заметить, что современники Отреда не воспринимали его, как любителя. Для них он был безусловным авторитетом в мире математики. Каждый день этого человека был посвящен богослужению и математике. Если он находился вне стен храма, его можно было найти дома – за вычислениями. Вместо бумаги или грифельной доски Отред использовал… землю. В его руках была палка, заменявшая ему карандаш. А вся усадьба была испещрена бесконечными формулами.

Еще одна любопытная деталь. Отред никогда не брал с учеников платы. Наоборот, тратил на их содержание скромное жалование священника. Собственно, поэтому за ним и тянулась слава великого учителя. Попасть в ученики к Уильяму Отреду считалось большой удачей.

Совершенствуя свою логарифмическую линейку, Отред изобрел ее разновидность – круговую линейку, состоящую из набора вращающихся шкал. В окончательном виде приспособление было снабжено десятью шкалами. Этот прибор позволял производить умножение, деление и вычисление ряда тригонометрических функций.

Отред был автором нескольких монументальных научных трудов, которые еще при жизни ученого приобрели статус классических учебников. В 1631 году он выпустил книгу «Ключ к математике». В течение последующих ста лет эта книга широко использовалась в английских школах. В 1632 году в свет вышел второй труд Отреда – описание круговой логарифмической линейки с примерами ее применения в навигационной практике. Благодаря этой работе научный мир узнал о существовании подобного удивительного прибора и взял его на вооружение. А в «докомпьютерную» и «докалькуляторную» эпоху логарифмическая линейка оставалась основным вычислительным устройством, доступным и школьному учителю, и инженеру, и ученому.

Уильям Отред остался в истории науки не только благодаря изобретению логарифмической линейки. Он стал автором ряда базовых математических обозначений, которые стали общепринятой нормой. Отред предложил использовать для обозначения операции умножения знак «х», а деления – знак «/». Он же ввел в обиход две вертикальные черты («II») как символ параллельности. И сократил математическое обозначение синуса и косинуса. Вместо «Sine» математики стали писать «sin», а вместо «Cosine» – «cos».

А еще Отред занимался теоретическими расчетами конструкции часов. Его работы служили справочными пособиями английским и швейцарским часовщикам.

Говорят, Отред был убежденным монархистом. Согласно легенде, он умер от разрыва сердца, узнав о том, что Карл II вернулся на английский престол. Не пережил радости. Это случилось 30 июня 1660 года…

Если в вашем доме завалялась старая логарифмическая линейка, не спешите ее выбрасывать. Лучше вспомните прошлое или попробуйте заново научиться расчетам на ней. Либо просто оставьте на память как одну из умных мелочей, без которых жизнь человека была бы скучной и невыразительно серой.

Кстати, в былые годы логарифмические линейки продавались в аккуратных картонных футлярах. К каждой прилагалась книжечка, объясняющая методику вычислений. И эта инструкция была более пространной, чем та, что вкладывается в коробку современного смартфона. Еще бы – для расчетов на логарифмической линейке требуются математические познания, а не только тренированный большой палец правой руки.

 
По всем вопросам, связанным с работой сайта, обращайтесь по адресу: webmaster@elcode.ru